Epidemik merupakan wabah penyakit yang terjadi pada populasi manusia di suatu daerah dengan jenis penyakit, waktu, dan sumber di luar keadaan yang biasa. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi kasus epidemik ini antara lain jumlah populasi yang rentan terhadap penyakit, homogenitas populasi, kemampuan penularan suatu infeksi, tingkat imunitas masing-masing individu, serta masa inkubasi. Penyakit epidemik merupakan masalah yang dihadapi di semua negara tanpa memandang status. Adapun contoh kasus epidemik yaitu campak, gondok, influenza, TB, dan lain sebagainya.
Penyakit yang tergolong dalam kasus epidemik ini memiliki cara penularan yang bervariasi sesuai dengan jenis penyakitnya. Misalnya pada kasus TB yang merupakan penyakit infeksi yang disebabkan oleh bakteri tuberkulosis. Contoh lain adalah kasus hepatitis yang merupakan penyakit radang sel hati yang disebabkan oleh infeksi (virus, bakteri, dan parasit), obat-obatan (termasuk obat tradisional), konsumsi alkohol, lemak berlebih, dan penyakit autoimun.
Pencegahan terhadap kasus epidemik dapat dilakukan dengan vaksinasi karena vaksinasi merupakan tindakan awal untuk mencegah wabah kasus epidemik. Vaksinasi merupakan proses pemberian patogen lemah atau mati pada makhluk hidup dengan tujuan untuk menambah sistem kekebalan tubuh terhadap suatu penyakit tertentu. Vaksinasi memiliki tanggungjawab ganda yaitu untuk memberikan perlindungan terhadap seseorang agar tidak terkena suatu penyakit menular dan memberikan kontribusi tinggi dalam sumbangan bagi kekebalan kelompok (herd immunity) yaitu seseorang yang telah mendapatkan kekebalan akan menghambat perkembangan penyakit di kalangan masyarakat. Keberhasilan vaksin paling menonjol terjadi pada kasus penyakit cacar, tetapi perlindungan vaksin memiliki kekebalan berdasarkan status kekebalan penerima vaksin. Pada kasus influenza, vaksin influenza melindungi 70% − 90% dari penerima usia muda dan dewasa, sedangkan pada penerima usia lanjut dan penderita HIV hanya sekitar 30% − 40%.
Model matematika merupakan salah satu alat yang ampuh untuk memahami dinamika penyebaran penyakit menular. Dalam makalah ini, kami mengkaji model epidemik matematika dengan mempertimbangkan populasi yang divaksinasi serta dengan menambahkan variabel kontrol berupa pengobatan medis untuk mengurangi populasi yang terinfeksi dengan ongkos seminimal mungkin. Pada penelitian ini, populasi manusia dibagi menjadi lima kompartemen (sub-populasi) yakni populasi yang sehat, populasi yang divaksin, populasi yang terpapar (exposed), populasi yang terinfeksi (infectious) dan populasi yang sembuh. Adapun variable kontrol yang digunakan berupaupaya pengobatan untuk populasi eterpapar dan terinfeksi. Pada model, dilakukan analisis kestabilan titik setimbang model dan ditentukan syarat cukup eksistensi kontrol optimal, serta dilengkapi dengan simulasi numerik dan interpretasinya.
Dari hasil pembahasan, kami menghitung bilangan reproduksi dasar(basic reproduction number) yang merupakan besaran penting dalam epidemiologi matematika. Bilangan ini menyatakan rata-rata kasus sekunder per kasus primer dalam suatu populasi virgin selama masa menular (infectious period) kasus primer. Kestabilan lokal dari titik setimbang dan eksistensi titik setimbang endemik model bergantung pada bilangan reproduksi dasar tersebut. Selanjutnya pada model epidemik diterapkan variabel control berupa upaya pengobatan untuk meminimalkan populasi yang terpapar dan terinfeksi dengan biaya seoptimal mungkin. Masalah kontrol optimal tersebut diselesaikan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Dari hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa penerapan upapengobatan sebagai variabel kontrol dapat menurunkan jumlah populasi terpapar dan terinfeksi yang masing-masing sebesar 77,30% dan 92,71% di akhir periode intervensi.
Penulis: Dr. Fatmawati, M.Si
Informasi detail dari riset ini dapat dilihat pada tulisan kami di:
https://aip.scitation.org/doi/10.1063/5.0042363
Penulis: Abdulloh Jaelani , Fatmawati, Novi Dwi Yolanda Fitri.
Stability Analysis and Optimal Control of Mathematical Epidemic Model with Medical Treatment, AIP Conference Proceedings , Volume 2329, (2021) 040001
