Saat ini banyak perkembangan penelitian dalam matematika murni yang mengkaitkan teori graf dan teori grup. Teori graf merupakan konsep yang mengkaji suatu struktur yang terdiri atas titik dan garis, dimana garis menyatakan hubungan antar dua titik. Sedangkan teori grup merupakan konsep yang mengkaji suatu struktur himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner. Dapat dilihat bahwa teori grup merupakan konsep yang terlalu abstrak jika dibandingkan dengan teori grup yang sifatnya diskrit. Oleh sebab itu tujuan mengkaitkan dua konsep ini adalah untuk melihat lebih mudah sifat-sifat suatu grup yang direpresentasikan dalam sebuah graf. Beberapa graf yang merepresentasikan grup berhingga antara lain graf commuting, non-commuting, coprime, non-coprime, g-noncommuting, non-normal, non-cyclic, conjugate, dsb.
Teori graf telah banyak diterapkan di berbagai bidang. Salah satunya dalam bidang kimia yang berkaitan dengan indeks topologi. Indeks topologi adalah deskriptor molekuler yang dihitung berdasarkan struktur molekul senyawa kimia. Struktur molekul dapat diasumsikan sebagai graf, titik pada graf dapat mewakili atom dan sisi graf mewakili ikatan antar atom. Ada beberapa macam indeks topologi yang menarik untuk dibahas karena beberapa indeks tersebut dapat digunakan untuk menganalisis sifat kimia parafin.
Artikel ini menyajikan bentuk graf coprime dari perumuman grup quaternion dan disajikan pula indeks topologinya. Perumuman grup quaternion merupakan grup berhingga tidak komutatif yang dibangun oleh dua elemen dengan sifat khusus. Sedangkan graf coprime dari perumuman grup quaternion adalah graf dengan titik-titiknya merupakan anggota dari perumuman grup quaternion dan sisinya dibentuk dari dua anggota grup yang ordernya saling prima. Dari pengamatan yang telah dibuktikan secara matematis, diperoleh dua pola bentuk graf coprime dari perumuman grup quaternion, yaitu graf bintang dan graf tripartit. Pola tersebut didapatkan dari banyaknya anggota grup yang dipilih.
Indeks topologi yang ditentukan dalam pengamatan ini antara lain Zagreb pertama, Zagreb kedua, Wiener, hyper-Wiener, Harary, dan Szeged. Nama-nama indeks tersebut berasal dari nama penemunya. Indeks Zagreb pertama merupakan jumlahan dari kuadrat derajat titik-titik pada graf. Indeks Zagreb kedua merupakan jumlahan dari perkalian derajat dua titik yang saling bertetangga pada graf. Indeks Wiener merupakan jumlahan dari jarak antar dua titik pada graf. Indeks hyper-Wiener merupakan setengah dari jumlahan indeks Wiener dengan jumlahan kuadrat jarak antar dua titik pada graf. Indeks Harary merupakan jumlahan dari balikan jarak antara dua titik pada graf. Dan yang terakhir adalah indeks Szeged, merupakan perumuman dari konsep indeks Wiener. Indeks yang didapatkan dalam pengamatan ini diperoleh bahwa rumus indeks topologi graf bintang lebih berpola jika dibandingkan dengan indeks topologi graf tripartite dari perumuman grup quaternion. Semua hasil tersebut bergantung pada banyaknya anggota pada perumuman grup quaternion.
Penulis: Siti Zahidah, M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:
“Connectivity Indices of Coprime Graph of Generalized Quaternion Group”
Dapat diakses melalui laman: https://www.jims-a.org/index.php/jimsa/article/view/1043
