Berbicara mengenai ilmu matematika, walaupun tidak terlalu digemari namun tidak dapat dipungkiri bahwa dalam kehidupan sehari-hari manusia tidak dapat lepas dalam menerapkan konsep matematika. Matematika menjadi kunci dalam perkembangan ilmu lainnya. Teori graf salah satu cabang ilmu matematika diskrit yang banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari misalnya dalam penempatan CCTV, rangkaian listrik, pembuatan salur kamar mandi, penyusunan sebuah jadwal, hingga dalam pencarian solusi pada games, salah satunya yaitu Sudoku dan masih banyak lagi yang lainnya. Permasalahan-permasalahan tersebut dapat diselesaikan karena adanya konsep-konsep dalam teori graf diantaranya bilangan dominasi, dimensi metrik, pewarnaan, pelabelan, dan masih banyak lagi yang lainnya. Misal satu contoh mengenai penempatan CCTV pada sebuah gedung, diperlukan berapa banyak CCTV yang memungkinkan untuk memantau semua ruangan. Tanpa menggunakan konsep teori graf mungkin bisa terpecahkan, namun dengan konsep teori graf banyaknya CCTV yang dibutuhkan bisa berbeda dan pastinya lebih minimal sehingga dapat menekan dana yang dikeluarkan.
Penelitian mengenai teori graf di Indonesia mulai berkembang dengan baik beberapa tahun terakhir, bahkan hanya dalam rentang satu tahun banyak artikel-artikel terbaru yang diterbitkan. Artikel ini memperkenalkan konsep baru mengenai resolving domination number jarak- pada graf. Topik ini terinspirasi dari penelitian Zhang, dkk pada tahun 2003 yang memadukan dua konsep teori graf diantaranya bilangan dominasi dan dimensi metrik yaitu resolving domination number pada graf namun terbatas pada jarak- .
Disamping itu, graf merupakan himpunan dari objek-objek yang dinamakan titik atau simpul yang dihubungkan oleh penghubung yang dinamakan sisi atau garis, dalam matematika biasanya dinotasikan dengan dimana merupakan sebuah himpunan yang elemennya dinamakan titik atau simpul pada graf sedangkan merupakan sebuah himpunan dari pasangan dua titik di yang elemennya dinamakan sisi atau garis pada graf . Graf yang digunakan dalam penelitian ini yaitu graf-graf terhubung yang artinya tidak ada titik yang terisolasi atau semua titiknya dihubungkan oleh garis dengan titik lainnya.
Selain itu, definisi bilangan dominasi yang biasanya secara matematis dilambangkan dengan adalah banyaknya elemen dari himpunan dominasi minimal pada graf , sedangkan himpunan yang dinotasikan dengan dan merupakan himpunan bagian dari titik-titik pada graf disebut himpunan dominasi jika setiap titik yang tidak termasuk dalam himpunan dominasi terpasangkan dengan minimal satu titik pada himpunan . Berbeda dengan konsep bilangan dominasi, dimensi metrikdibangun dengan menggunakan konsep jarak sehingga himpunan yang merupakan bagian dari titik-titik pada graf disebut himpunan pembeda pada graf jika setiap titik di memiliki representasi jarak yang berbeda terhadap himpunan . Himpunan pembeda yang mempunyai kardinalitas minimal disebut basis. Banyaknya titik pada basis graf disebut dimensi, dilambangkan dengan . Kemudian Zhang, dkk memadukan dua konsep tersebut menjadi resolving domination number yaitu banyaknya elemen dari resolving dominating set minimal pada graf . Sebuah himpunan yang merupakan himpunan bagian dari titik-titik pada graf dikatakan resolving dominating set jika merupakan himpunan dominasi sekaligus sebagai himpunan pembeda.
Pada penelitian ini dihasilkan definisi baru mengenai resolving dominating set dan resolving domination number jarak- pada graf, sebuah lema yang berisi batas bawah dan batas atas dalam menentukan resolving domination number jarak- pada graf dan empat teorema mengenai resolving domination number jarak- diantaranya pada graf lintasan, graf bintang, graf lengkap dan graf persahabatan.
Berdasarkan hasil yang diperoleh setiap graf yang dipilih akan berbeda resolving domination number-nya bergantung pada banyaknya bilangan dominasi atau dimensi metrik yang telah dijelaskan pada Lema 2.1 pada Artikel. Terdapat graf yang memiliki nilai yang sama antara bilangan dominasinya dan dimensi metriknya namun ada juga yang berbeda. Misal pada graf lengkap, graf lengkap merupakan graf yang setiap titiknya saling terhubung antara satu titik dengan titik yang lain. Bilangan dominasi pada graf lengkap yaitu , namun dimensi metrik pada graf lengkap yaitu banyaknya titik pada graf lengkap dikurangi satu. Sehingga berdasarkan Lema 2.1 resolving domination number jarak- pada graf lengkap yaitu dimana merupakan banyaknya titik pada graf lengkap. Untuk hasil-hasil pada graf lainnya secara lengkap dapat dilihat pada artikel.
Penulis : Dr. H. Moh. Imam Utoyo, M.Si.
Berdasarkan artikel ilmiah dengan judul: The distance 2-resolving domination number of graphs
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1836/1/012017/pdf
