Dalam kehidupan sehari hari, komunikasi sangat dibutuhkan. Efektifitas komunikasi perlu mendapatkan perhatian, karena dapat meminimumkan waktu dan biaya operasional komunikasi. Disinilah salah satu peran matematika dibutuhkan, yaitu untuk mendapatkan optimalisasi dari jaringan komunikasi.
Dalam jaringan komunikasi, terdapat suatu node atau titik x yang terletak antara dua titik u dan v yang berkomunikasi. Adakalanya titik x dilalui oleh jalur komunikasi antara titik u dan v dan adakalanya titik x tidak dilalui oleh jalur komunikasi titik u dan v. Pada saat kondisi yang kedua yang terjadi, maka dikatakan titik x tidak berpengaruh bagi komunikasi antara dua titik u dan v. Konsep ini dikenalkan oleh Bavelas pada tahun 1948, sebagai sentralitas keantaraan (betweeness centrality). Dalam hal ini, jaringan komunikasi dapat dimaknai sebagai jaringan komputer, jaringan kejahatan, jaringan hubungan social serta tata letak tempat usaha. Untuk kemudahan dalam menterjemahkan permasalahan yang berkaitan dengan jaringan di atas, Freeman pada tahun1977 berusaha membangun konsep tersebut dalam matematika.
Sebagai pendukung untuk menyelesaikan permasalahan di atas, di dalam matematika dikenal suatu konsep yang dapat menyelesaikan permasalahan yang dapat diinterpretasikan sebagai titik dan garis, dimana titik menyatakan obyek yang diteliti, sedangkan garis menyatakan hubungan antar dua titik. Konsep tersebut dikenal sebagai teori graf. Dengan menyajikan obyek dari permasalahan sebagai titik dan hubungan antar titik sebagai garis, maka struktur hubungan dari semua obyek dapat ditemukan. Dengan konsep sentralitas keantaraan, dapat ditemukan titik-titik yang berpengaruh paling besar bagi komunikasi antar dua titik. Adapun struktur hubungan antar titik disajikan terlebih dulu dalam graf.
Graf yang dikaji di sini adalah graf yang mempunyai bentuk khusus, yaitu graf yang diperoleh dari dua graf yang dioperasikan dengan operasi yang namanya operasi korona. Dua graf yang dioperasikan dalam tulisan ini adalah graf lintasan dan graf bintang. Sentralitas keantaraan suatu titik x diperoleh dengan terlebih dulu menentukan perbandingan antara banyaknya jalan terpendek yang menghubungkan dua titik u dan v yang melalui x dengan banyaknya jalan terpendek yang menghubungkan dua titik u dan v tersebut, yang disebut dengan ketergantungan pasangan titik u dan v. Dengan menjumlahkan semua ketergantungan pasangan setiap dua titik yang ada pada graf, maka diperoleh sentralitas keantaraan bagi titik x.
Pada graf bintang terdapat satu titik yang membentuk garis dengan setiap titik yang lain, yang disebut titik pusat, sedangkan titik yang lain membentuk garis hanya dengan titik pusat saja. Pada graf lintasan, setiap titiknya membentuk garis hanya dengan dua titik lainnya, kecuali titik titik ujung yang membentuk garis hanya dengan satu titik saja. Graf hasil operasi korona dua graf diperoleh dari menggandakan graf kedua sebanyak titik pada graf pertama dan menghubungkan dengan garis, setiap titik pada graf kedua dengan tepat 1 titik di setiap titik yang bersesuaian pada graf pertama. Oleh karena itu, secara umum graf hasil operasi korona akan berbeda jika posisi graf yang dioperasikan diubah. Dengan perhitungan dan pembuktian secara matematik, diperoleh hasil nilai sentralitas keantaraan setiap titik pada graf hasil operasi korona.
Misalkan banyaknya titik pada graf lintasan adalah n dan banyaknya titik pada graf bintang adalah m+1. Sentralitas keantaraan setiap titik pada graf hasil operasi korona dengan posisi graf lintasan sebagai graf pertama dan posisi graf bintang sebagai graf kedua, diperoleh sebagai berikut. Setiap titik pada graf lintasan bernilai tak nol, sedangkan titik titik pada graf bintang adalah bernilai nol jika titik tersebut bukan titik pusat dari graf bintang, dan bernilai setengah dari combinasi m dengan 2 jika titik tersebut sebagai titik pusat. Ini artinya, titik titik di graf lintasan dan titik pusat dari graf bintang mempunyai pengaruh pada hubungan komunikasi sebarang dua titik pada graf hasil operasi korona tersebut, sedangkan titik selain titik pusat pada graf bintang tidak mempunyai pengaruh. Seberapa besar pengaruh titik titik pada graf lintasan dapat dilihat pada artikel lengkap.
Sebaliknya, pada graf hasil operasi korona dengan posisi graf bintang sebagai graf pertama dan posisi graf lintasan sebagai graf kedua, diperoleh hasil bahwa sentralitas keantaraan setiap titik pada graf bintang dan titik pada graf lintasan adalah tidak nol, kecuali titik titik ujung pada graf lintasan. Ini artinya setiap titik mempunyai pengaruh pada jaringan komunikasi antar dua titik pada graf hasil koronanya kecuali titik titik ujung pada graf lintasan. Seberapa besar pengaruhnya, dapat dilihat pada artikel lengkap.
Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap (open access) dengan judul: “Betweenness centrality in corona product of path and star graphs”
Dapat diakses melalui laman: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1731/1/012028/pdf